Konvexní konkávní

Z grafu bývá na první pohled zřejmé, jestli je funkce konkávní nebo konvexní. Taky se říká, že do konvexní funkce nalijete kafe. Následují tři příklady již známých funkcí. Pro funkci, která je konvexní na intervalu I platí : Pro funkci, která je konkávní na intervalu I platí: . Konvexnost a konkávnost funkce. Jako konvexní (latinsky convexus vypouklý, vypuklý) se označují (například v matematice nebo optice) takové formy (plochy, křivky), které jsou vyklenuté směrem ven.

Formy, které jsou naopak vyklenuté směrem dovnitř (tj. vyduté), se označují jako konkávní. Označení konvexní se používá například. Jako konkávní (vydutý) se označují (například v matematice nebo optice) takové formy (plochy nebo křivky), které jsou vyduté směrem dovnitř. Na následujících obrázcích jsou zobrazeny grafy ryze konvexní a ryze konkávní funkce. Všimněte si, že sestrojíme-li tečnu ke grafu ryze konvexní funkce, leží body grafu této funkce nad touto tečnou s výjimkou bodu dotyku.

Podobně sestrojíme-li tečnu ke grafu ryze konkávní funkce, leží body grafu této funkce pod touto . Určili jsme intervaly, na kterých je funkce f konvexní a konkávní. Lze to udělat i pomocí dosazování bodů ze zkoumaných intervalů do předpisu druhé derivace a určením znaménka tohoto výrazu. Na první pohled to vypadá nelogicky, ale můžu si to představit tak, že se na graf funkce koukám jakoby odspoda: konkávní = doslova: vydutý, u funkce: např. Nyní přesněji,matematicky. Je-li funkce konvexní ( konkávní ) v každém bodě intervalu, říkáme, že je konvexní ( konkávní ) v . Když píšeme v odpovědi intervaly, uzavřeme koncové body, kde je f spojitá z příslušné strany.

Určíme inflexní body jako body definičního oboru, kde se mění konvexita. Pro typickou funkci má nicméně graf části, na kterých se vždy drží jednoho z těchto tvarů, takže je chvíli konvexní (na intervalu), pak konkávní , pak. To je přesně ta situace, na kterou se teď podíváme. Tento pojem je vlastně svou povahou docela podobný monotonii (jak za chvíli uvidíte), takže bychom měli začít konvexitou v . Autor: Jaroslav Hajtmar.

Datum ověření ve výuce: 5. Druh učebního materiálu: pracovní list. Očekávaný výstup: Na základě předložených vztahů zvládne určovat intervaly na nichž je funkce konvexní resp. Metodické poznámky: Materiál je určen k. Nechť je funkce f definována na intervalu. Geometricky znamená konvexnost funkce f na intervalu , že pro libovolnou volbu , , leží úsečka s koncovými body a na . Pokud chcete někoho poučit, čiňte prosím s pokorou. Za viz se nedělá tečka, protože znamená rozkaz významu hleď.

Viz, vizte jako hleď a hleďte. Vzpomenout se nepíše se s. Funkce f je konvexní ( konkávní ), je-li konvexní ( konkávní ) v celém definičním oboru. Uvidíme, že o tom, kde je daná funkce konvexní a kde konkávní , případně o tom, ve kterém bodě nastává změna, můžeme rozhodnout pomocí druhé derivace.

Při výpočtech se přitom jedná o analogii předchozí kap. DI konvexní , jestliže pro .